최소 공통 조상: 기초 문제
BOJ ‘LCA’ 문제
최소 공통 조상
최소 공통 조상 문제는 두 노드의 공통된 조상 중에서 가장 가까운 조상을 찾는 문제
기본적인 최소 공통 조상 알고리즘
- 모든 노드에 대한 깊이를 계산
- 최소 공통 조상을 찾을 두 노드 확인
- 먼저 두 노드의 깊이가 동일하도록 거슬러 올라가기
- 이후에 부모가 같아질 때까지 반복적으로 두 노드의 부모 방향으로 거슬러 올라가기
- 모든 LCA(a,b) 연산에 대하여 2번의 과정 반복
LCA 알고리즘
import sys
sys.setrecursionlimit(int(1e5)) # 런타임 오류를 피하기 위한 재귀 깊이 제한 설정
n = int(input())
parent = [0] * (n + 1) # 부모 노드 정보
d = [0] * (n + 1) # 각 노드까지의 깊이
c = [0] * (n + 1) # 각 노드의 깊이가 계산되었는지 여부
graph = [[] for _ in range(n + 1)] # 그래프(graph) 정보
for _ in range(n - 1):
a, b = map(int, input().split())
graph[a].append(b)
graph[b].append(a)
# 루트 노드부터 시작하여 깊이(depth)를 구하는 함수
def dfs(x, depth):
c[x] = True
d[x] = depth
for y in graph[x]:
if c[y]: # 이미 깊이를 구했다면 넘기기
continue
parent[y] = x
dfs(y, depth + 1)
# A와 B의 최소 공통 조상을 찾는 함수
def lca(a, b):
# 먼저 깊이(depth)가 동일하도록
while d[a] != d[b]:
if d[a] > d[b]:
a = parent[a]
else:
b = parent[b]
# 노드가 같아지도록
while a != b:
a = parent[a]
b = parent[b]
return a
dfs(1, 0) # 루트 노드는 1번 노드
m = int(input())
for i in range(m):
a, b = map(int, input().split())
print(lca(a, b))
기본적인 최소 공통 조상 (LCA) 알고리즘: 시간 복잡도 분석
매 쿼리마다 부모 방향으로 거슬러 올라가기 위해 최악의 경우 O(N) 요구
따라서 모든 쿼리를 처리할 때의 시간 복잡도는 O(NM)
최소 공통 조상: 심화 문제
BOJ ‘LCA 2’ 문제
최소 공통 조상(LCA) 알고리즘 개선
각 노드가 거슬러 올라가는 속도를 빠르게 만드는 방법
만약 총 15칸 거슬러 올라가야 한다면?
8→4→2→1
2의 제곱 형태로 거슬러 올라가도록 하면 O(logN)의 시간 복잡도 보장
메모리를 조금 더 사용하여 각 노드에 대하여 2^i번째 부모에 대한 정보 기록
개선된 최소 공통 조상 (LCA) 알고리즘: 시간 복잡도 분석
다이나믹 프로그래밍을 이용해 시간 복잡도 개성
세그먼트 트리를 이용하는 방법도 존재
매 쿼리마다 부모를 거슬러 올라가기 위해 O(logN)의 복잡도 필요
따라서 모든 쿼리를 처리할때의 시간 복잡도는 O(MlogN)입니다
import sys
input = sys.stdin.readline # 시간 초과를 피하기 위한 빠른 입력 함수
sys.setrecursionlimit(int(1e5)) # 런타임 오류를 피하기 위한 재귀 깊이 제한 설정
LOG = 21 # 2^20 = 1,000,000
n = int(input())
parent = [[0] * LOG for _ in range(n + 1)] # 부모 노드 정보
d = [0] * (n + 1) # 각 노드까지의 깊이
c = [0] * (n + 1) # 각 노드의 깊이가 계산되었는지 여부
graph = [[] for _ in range(n + 1)] # 그래프(graph) 정보
for _ in range(n - 1):
a, b = map(int, input().split())
graph[a].append(b)
graph[b].append(a)
# 루트 노드부터 시작하여 깊이(depth)를 구하는 함수
def dfs(x, depth):
c[x] = True
d[x] = depth
for y in graph[x]:
if c[y]: # 이미 깊이를 구했다면 넘기기
continue
parent[y][0] = x
dfs(y, depth + 1)
# 전체 부모 관계를 설정하는 함수
def set_parent():
dfs(1, 0) # 루트 노드는 1번 노드
for i in range(1, LOG):
for j in range(1, n + 1):
parent[j][i] = parent[parent[j][i - 1]][i - 1]
# A와 B의 최소 공통 조상을 찾는 함수
def lca(a, b):
# b가 더 깊도록 설정
if d[a] > d[b]:
a, b = b, a
# 먼저 깊이(depth)가 동일하도록
for i in range(LOG - 1, -1, -1):
if d[b] - d[a] >= (1 << i):
b = parent[b][i]
# 부모가 같아지도록
if a == b:
return a;
for i in range(LOG - 1, -1, -1):
# 조상을 향해 거슬러 올라가기
if parent[a][i] != parent[b][i]:
a = parent[a][i]
b = parent[b][i]
# 이후에 부모가 찾고자 하는 조상
return parent[a][0]
set_parent()
m = int(input())
for i in range(m):
a, b = map(int, input().split())
print(lca(a, b))
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