13. 벨만포드 알고리즘

음수 간선이 포함된 상황에서의 최단 거리 문제

BOJ ‘타임머신’문제

음수 간선이 순환이 포함된다면 최단 거리가 음의 무한인 노드 발생

벨만 포드 최단 경로 알고리즘

음수 간선에 관하여 최단 경로 문제는 다음과 같이 분류

1) 모든 간선이 양수인 경우

2) 음수 간선이 있는 경우

1) 음수 간선 순환은 없는 경우

2) 음수 간선 순환이 있는 경우

벨만 포드 최단 경로 알고리즘은 음의 간선이 포함된 상황에서도 사용

또한 음수 간선의 순환을 감지 가능

벨만 포드의 기본 시간 복잡도는 O(VE)로 다익스트라 알고리즘에 비해 느림

동작 원리

1. 출발 노드 설정

2. 최단 거리 테이블 초기화

3. 다음의 과정을 N-1번 반복
   1. 전체 간선 E개를 하나씩 확인
   2. 각 간선을 거쳐 다른 노드로 가는 비용을 계산하여 최단 거리 테이블 갱신

만약 음수 간선 순환이 발생하는지 체크하고 싶다면 3번의 과정을 한 번 더 수행

이때 최단 거리 테이블이 갱신된다면 음수 간선 순환이 존재

벨만 포드 알고리즘 VS 다익스트라 알고리즘

다익스트라 알고리즘

매번 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택

음수 간선이 없다면 최적의 해를 찾을 수 있음

벨만 포드 알고리즘

매번 모든 간선을 전부 확인

따라서 다익스트라 알고리즘에서의 최적의 해를 항상 포함

다익스트라 알고리즘에 비해서 시간이 오래 걸리지만 음수 간선 순환 탐지 가능

import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

# 노드의 개수, 간선의 개수를 입력받기
n, m = map(int, input().split())
# 모든 간선에 대한 정보를 담는 리스트 만들기
edges = []
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n + 1)

# 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
    a, b, c = map(int, input().split())
    # a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
    edges.append((a, b, c))

def bf(start):
    # 시작 노드에 대해서 초기화
    distance[start] = 0
    # 전체 n - 1번의 라운드(round)를 반복
    for i in range(n):
        # 매 반복마다 "모든 간선"을 확인하며
        for j in range(m):
            cur_node = edges[j][0]
            next_node = edges[j][1]
            edge_cost = edges[j][2]
            # 현재 간선을 거쳐서 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
            if distance[cur_node] != INF and distance[next_node] > distance[cur_node] + edge_cost:
                distance[next_node] = distance[cur_node] + edge_cost
                # n번째 라운드에서도 값이 갱신된다면 음수 순환이 존재
                if i == n - 1:
                    return True
    return False

# 벨만 포드 알고리즘을 수행
negative_cycle = bf(1) # 1번 노드가 시작 노드

if negative_cycle:
    print("-1")
else:
    # 1번 노드를 제외한 다른 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
    for i in range(2, n + 1):
        # 도달할 수 없는 경우, -1을 출력
        if distance[i] == INF:
            print("-1")
        # 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
        else:
            print(distance[i])

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