소수(Prime Number)
소수란 1보다 큰 자연수 중에서 1과 자기 자신을 제외한 자연수로는 나누어떨어지지 않는 자연수
코딩 테스트에서는 어떠한 자연수가 소수인지 아닌지 판벼래야하는 문제 자주 출제
약수의 성질
모든 약수가 가운데 약수를 기준으로 곱셈 연산에 대해 대칭을 이룸
예를 들어 16의 약수는 1,2,4,8,16
이 때 2 X 8 =16은 8 X 2 =16과 대칭
따라서 우리는 특정한 자연수의 모든 약수를 찾을 때 가운데 약수까지만 확인하면 됌
ex) 16이 2로 나누어 떨어진다는 것은 8로도 나누어 떨어진다는 것을 의미
소수판별: 개선된 알고리즘
import math
# 소수 판별 함수
def is_prime_number(x):
# 2부터 x의 제곱근까지의 모든 수를 확인하며
for i in range(2, int(math.sqrt(x)) + 1):
# x가 해당 수로 나누어떨어진다면
if x % i == 0:
return False # 소수가 아님
return True # 소수임
print(is_prime_number(4)) # 4는 소수가 아님
print(is_prime_number(7)) # 7은 소수임
소수의 판별: 개선된 알고리즘 성능 분석
2부터 X제곱근까지의 모든 자연수에 대하여 연산을 수행해야함
시간 복잡도는 O(N^(1/2))
다수의 소수 판별
특정 수 범위안에 존재하는 모든 소수를 찾아야할 때는 에라토스테네스의 체 알고리즘 사용
에라토스테네스의 체 알고리즘
다수의 자연수에 대하여 소수 여부를 판별할 때 사용하는 대표 알고리즘
N보다 작거나 같은 모든 소수를 찾을 때 사용 가능
동작 과정
- 2부터 N까지의 모든 자연수 나열
- 남은 수 중에서 아직 처리하지 않은 가장 작은 수 i 찾기
- 남은 수 중에서 i의 배수 모두 제거 (i는 제거하지 않음)
- 더 이상 반복할 수 없을 때까지 2,3 과정 반복
import math
n = 1000 # 2부터 1,000까지의 모든 수에 대하여 소수 판별
array = [True for i in range(n + 1)] # 처음엔 모든 수가 소수(True)인 것으로 초기화
# 에라토스테네스의 체 알고리즘
for i in range(2, int(math.sqrt(n)) + 1): # 2부터 n의 제곱근까지의 모든 수를 확인하며
if array[i] == True: # i가 소수인 경우 (남은 수인 경우)
# i를 제외한 i의 모든 배수를 지우기
j = 2
while i * j <= n:
array[i * j] = False
j += 1
# 모든 소수 출력
for i in range(2, n + 1):
if array[i]:
print(i, end=' ')
에라토스테네스의 체 알고리즘 성능 분석
에라토스테네스의 체 알고리즘의 시간 복잡도는 선형 시간에 가까울 정도로 빠름
시간 복잡도는 O(NloglogN)
에라토스테네스의 체 알고리즘은 다수의 소수를 찾아야하는 문제에서 효과적 사용 가능
하지만 각 자연수에 대한 소수 여부를 저장해야하기 때문에 메모리 많이 필요
10억이 소수인지 판별할때는 사용가능할까? → 수가 너무클 때는 공간활용이 비효율적
투 포인터(Two Pointers)
투 포인터 알고리즘은 리스트에 순차적으로 접근해야 할 때 두 개의 점 위치를 기록하면서 처리하는 알고리즘
리스트에 담긴 데이터에 순차적으로 접근해야 할 때는 시작점과 끝점 2개의 점으로 접근할 데이터의 범위 표현
특정합 합을 가지는 부분 연속 수열 찾기
투 포인터를 활용한 알고리즘으로 문제 해결 가능
- 시작점과 끝점이 첫 번째 원소의 인덱스를 가리키도록 함
- 현재 부분 합이 M과 같다면, 카운트
- 현재 부분 합이 M보다 작다면, end를 1증가
- 현재 부분 합이 M보다 크거나 같다면, start 1증가
- 모든 경우 확인할 때까지 2부터 4번까지 과정 반복
n = 5 # 데이터의 개수 N
m = 5 # 찾고자 하는 부분합 M
data = [1, 2, 3, 2, 5] # 전체 수열
count = 0
interval_sum = 0
end = 0
# start를 차례대로 증가시키며 반복
for start in range(n):
# end를 가능한 만큼 이동시키기
while interval_sum < m and end < n:
interval_sum += data[end]
end += 1
# 부분합이 m일 때 카운트 증가
if interval_sum == m:
count += 1
interval_sum -= data[start]
print(count)
구간 합(Interval Sum)
구간 합 문제: 연속적으로 나열된 N개의 수가 있을 때 특정 구간의 모든 수를 합한 값을 계산하는 문제
구간 합 빠르게 계산 : 문제 해결
접두사 합(Prefix Sum) : 배열의 맨 앞부터 특정 위치까지의 합을 미리 구해 놓은 것
접두사 합을 활용한 알고리즘
N개의 수 위치 각각에 대하여 접두사 합을 계산하여 P에 저장
매 M개의 쿼리 정보를 확인할 때 구간 합은 P[Right] - P[Left-1]
# 데이터의 개수 N과 전체 데이터 선언
n = 5
data = [10, 20, 30, 40, 50]
# 접두사 합(Prefix Sum) 배열 계산
sum_value = 0
prefix_sum = [0]
for i in data:
sum_value += i
prefix_sum.append(sum_value)
# 구간 합 계산 (세 번째 수부터 네 번째 수까지)
left = 3
right = 4
print(prefix_sum[right] - prefix_sum[left - 1])
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